Number Theoretic Transform
(convolution/ntt.hpp)

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Last update: 2024-01-08 00:27:17+09:00
Include: #include "convolution/ntt.hpp"

Description

数論変換 (NTT) は，有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の高速 Fourier 変換である．

Operations

void ntt(vector<mint> a)
- 数列 $a$ を数論変換する
- 時間計算量: $O(n\log n)$
void intt(vector<mint> a)
- 数列 $a$ を逆数論変換する
- 時間計算量: $O(n\log n)$
vector<mint> convolution(vector<mint> a, vector<mint> b)
- 数列 $a$ と $b$ の畳み込みを計算する
- 時間計算量: $O(n\log n)$

Note

数列の長さ $n$ が $p - 1$ を割り切るとき，1の原子 $n$ 乗根が必ず存在する．$n$ の長さを2冪にするため，素数 $p$ は $a \times 2^k + 1$ の形に表したとき $k$ が十分大きいものを用いる．

以下の p と原子根の組み合わせがよく用いられる:

(167772161, 3)
(469762049, 3)
(754974721, 11)
(998244353, 3)
(1224736769, 3) ($2p$ が 32-bit 符号付き整数に収まらないので，私の Modint では扱えない)

$k$ の値はそれぞれ，25, 26, 24, 23, 24である．

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Code

#pragma once
#include <bit>
#include <vector>

constexpr int get_primitive_root(int mod) {
    if (mod == 167772161) return 3;
    if (mod == 469762049) return 3;
    if (mod == 754974721) return 11;
    if (mod == 998244353) return 3;
    if (mod == 1224736769) return 3;
}

template <typename mint>
void ntt(std::vector<mint>& a) {
    constexpr int mod = mint::mod();
    constexpr mint primitive_root = get_primitive_root(mod);

    const int n = a.size();
    for (int m = n; m > 1; m >>= 1) {
        mint omega = primitive_root.pow((mod - 1) / m);
        for (int s = 0; s < n / m; ++s) {
            mint w = 1;
            for (int i = 0; i < m / 2; ++i) {
                mint l = a[s * m + i];
                mint r = a[s * m + i + m / 2];
                a[s * m + i] = l + r;
                a[s * m + i + m / 2] = (l - r) * w;
                w *= omega;
            }
        }
    }
}

template <typename mint>
void intt(std::vector<mint>& a) {
    constexpr int mod = mint::mod();
    constexpr mint primitive_root = get_primitive_root(mod);

    const int n = a.size();
    for (int m = 2; m <= n; m <<= 1) {
        mint omega = primitive_root.pow((mod - 1) / m).inv();
        for (int s = 0; s < n / m; ++s) {
            mint w = 1;
            for (int i = 0; i < m / 2; ++i) {
                mint l = a[s * m + i];
                mint r = a[s * m + i + m / 2] * w;
                a[s * m + i] = l + r;
                a[s * m + i + m / 2] = l - r;
                w *= omega;
            }
        }
    }
}

template <typename mint>
std::vector<mint> convolution(std::vector<mint> a, std::vector<mint> b) {
    const int size = a.size() + b.size() - 1;
    const int n = std::bit_ceil((unsigned int)size);
    a.resize(n);
    b.resize(n);
    ntt(a);
    ntt(b);
    for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] *= b[i];
    intt(a);
    a.resize(size);
    mint n_inv = mint(n).inv();
    for (int i = 0; i < size; ++i) a[i] *= n_inv;
    return a;
}

#line 2 "convolution/ntt.hpp"
#include <bit>
#include <vector>

constexpr int get_primitive_root(int mod) {
    if (mod == 167772161) return 3;
    if (mod == 469762049) return 3;
    if (mod == 754974721) return 11;
    if (mod == 998244353) return 3;
    if (mod == 1224736769) return 3;
}

template <typename mint>
void ntt(std::vector<mint>& a) {
    constexpr int mod = mint::mod();
    constexpr mint primitive_root = get_primitive_root(mod);

    const int n = a.size();
    for (int m = n; m > 1; m >>= 1) {
        mint omega = primitive_root.pow((mod - 1) / m);
        for (int s = 0; s < n / m; ++s) {
            mint w = 1;
            for (int i = 0; i < m / 2; ++i) {
                mint l = a[s * m + i];
                mint r = a[s * m + i + m / 2];
                a[s * m + i] = l + r;
                a[s * m + i + m / 2] = (l - r) * w;
                w *= omega;
            }
        }
    }
}

template <typename mint>
void intt(std::vector<mint>& a) {
    constexpr int mod = mint::mod();
    constexpr mint primitive_root = get_primitive_root(mod);

    const int n = a.size();
    for (int m = 2; m <= n; m <<= 1) {
        mint omega = primitive_root.pow((mod - 1) / m).inv();
        for (int s = 0; s < n / m; ++s) {
            mint w = 1;
            for (int i = 0; i < m / 2; ++i) {
                mint l = a[s * m + i];
                mint r = a[s * m + i + m / 2] * w;
                a[s * m + i] = l + r;
                a[s * m + i + m / 2] = l - r;
                w *= omega;
            }
        }
    }
}

template <typename mint>
std::vector<mint> convolution(std::vector<mint> a, std::vector<mint> b) {
    const int size = a.size() + b.size() - 1;
    const int n = std::bit_ceil((unsigned int)size);
    a.resize(n);
    b.resize(n);
    ntt(a);
    ntt(b);
    for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] *= b[i];
    intt(a);
    a.resize(size);
    mint n_inv = mint(n).inv();
    for (int i = 0; i < size; ++i) a[i] *= n_inv;
    return a;
}

Number Theoretic Transform (convolution/ntt.hpp)