Segment Tree with Lazy Propagation
(data-structure/segtree/lazy_segment_tree.hpp)

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• Last update: 2024-03-20 21:25:02+09:00
• Include: #include "data-structure/segtree/lazy_segment_tree.hpp"

Description

遅延伝搬セグメント木は，モノイド $(T, \cdot, e_M)$ の列と，作用素モノイド $(E, \circ, e_O)$ による作用 $*: T \times E \rightarrow T$ を扱うデータ構造である．区間更新と区間取得を提供する．

作用 $*$ は $T$ の準自己同型である．すなわち，以下の性質が成り立つ．

• $\forall a \in T, a * e_O = a$
• $\forall a \in T, f, g \in E, a * (f \circ g) = (a * f) * g$
• $\forall a, b \in T, f \in E, (a \cdot b) * f = (a * f) \cdot (b * f)$

空間計算量: $O(n)$

Operations

• LazySegmentTree(int n)
  • サイズnで要素がすべて単位元 $e_M$ の遅延伝搬セグメント木を構築する
  • 時間計算量: $O(n)$
• LazySegmentTree(vector<T> v)
  • vの要素からサイズn = v.size()の遅延伝搬セグメント木を構築する
  • 時間計算量: $O(n)$
• T operator[](int k)
  • $k$ 番目の要素を返す
  • 時間計算量: $O(\log n)$
• void update(int l, int r, E x)
  • 区間 $[l, r)$ の値に $x$ を作用させる
  • 時間計算量: $O(\log n)$
• T fold(int l, int r)
  • 区間 $[l, r)$ の値を fold する
  • 時間計算量: $O(\log n)$
• int find_first(int l, F cond)
  • fold(l, r) が条件 cond を満たすような最小の $r (> l)$ 返す．列の単調性を仮定する．そのような $r$ が存在しない場合は -1 を返す
  • 時間計算量: $O(\log n)$
• int find_last(int r, F cond)
  • fold(l, r) が条件 cond を満たすような最大の $l (< r)$ 返す．列の単調性を仮定する．そのような $l$ が存在しない場合は -1 を返す
  • 時間計算量: $O(\log n)$

Note

作用が区間の長さに比例するとき (e.g. 区間加算)，作用の分配則は成り立たないが，これはモノイドを $T \times \mathbb{N}$ に拡張して区間の長さを持たせ，適切に $*$ を定義することで対処できる．

また，作用素が単位元を持たない半群であるとき（e.g. 区間更新）は，適当な値を集合に添加してそれを単位元として扱うことができる．

作用素の分配則が成り立たない場合，Segment tree beats を用いて高速に計算できる場合がある．

Reference

• 遅延評価セグメント木をソラで書きたいあなたに
• 遅延伝播セグメント木について
• SegmentTreeに載る代数的構造について
• 遅延伝搬segment木についてもっと詳しく

Required by

• Area of Union of Rectangles (misc/rectangle_union.hpp)
• Permutation Tree (tree/permutation_tree.hpp)

Verified with

• test/yosupo/area_of_union_of_rectangles.test.cpp
• test/yosupo/common_interval_decomposition_tree.test.cpp
• test/yosupo/range_affine_range_sum.test.cpp

Code

#pragma once
#include <algorithm>
#include <bit>
#include <numeric>
#include <vector>

template <typename M, typename O,
          typename M::T (*act)(typename M::T, typename O::T)>
class LazySegmentTree {
    using T = M::T;
    using E = O::T;

   public:
    LazySegmentTree() = default;
    explicit LazySegmentTree(int n)
        : LazySegmentTree(std::vector<T>(n, M::id())) {}
    explicit LazySegmentTree(const std::vector<T>& v)
        : size(std::bit_ceil(v.size())),
          node(2 * size, M::id()),
          lazy(2 * size, O::id()) {
        std::ranges::copy(v, node.begin() + size);
        for (int i = size - 1; i > 0; --i) {
            node[i] = M::op(node[2 * i], node[2 * i + 1]);
        }
    }

    T operator[](int k) { return fold(k, k + 1); }

    void update(int l, int r, const E& x) { update(l, r, x, 1, 0, size); }

    T fold(int l, int r) { return fold(l, r, 1, 0, size); }

    T fold_all() {
        push(1);
        return node[1];
    }

    template <typename F>
    int find_first(int l, F cond) {
        T v = M::id();
        return find_first(l, size, 1, 0, size, v, cond);
    }

    template <typename F>
    int find_last(int r, F cond) {
        T v = M::id();
        return find_last(0, r, 1, 0, size, v, cond);
    }

   private:
    int size;
    std::vector<T> node;
    std::vector<E> lazy;

    void push(int k) {
        if (lazy[k] == O::id()) return;
        if (k < size) {
            lazy[2 * k] = O::op(lazy[2 * k], lazy[k]);
            lazy[2 * k + 1] = O::op(lazy[2 * k + 1], lazy[k]);
        }
        node[k] = act(node[k], lazy[k]);
        lazy[k] = O::id();
    }

    void update(int a, int b, const E& x, int k, int l, int r) {
        push(k);
        if (r <= a || b <= l) return;
        if (a <= l && r <= b) {
            lazy[k] = O::op(lazy[k], x);
            push(k);
            return;
        }
        int m = std::midpoint(l, r);
        update(a, b, x, 2 * k, l, m);
        update(a, b, x, 2 * k + 1, m, r);
        node[k] = M::op(node[2 * k], node[2 * k + 1]);
    }

    T fold(int a, int b, int k, int l, int r) {
        push(k);
        if (r <= a || b <= l) return M::id();
        if (a <= l && r <= b) return node[k];
        int m = std::midpoint(l, r);
        return M::op(fold(a, b, 2 * k, l, m), fold(a, b, 2 * k + 1, m, r));
    }

    template <typename F>
    int find_first(int a, int b, int k, int l, int r, T& v, F cond) {
        push(k);
        if (r <= a) return -1;
        if (b <= l) return l;
        if (a <= l && r <= b && !cond(M::op(v, node[k]))) {
            v = M::op(v, node[k]);
            return -1;
        }
        if (r - l == 1) return r;
        int m = std::midpoint(l, r);
        int res = find_first(a, b, 2 * k, l, m, v, cond);
        if (res != -1) return res;
        return find_first(a, b, 2 * k + 1, m, r, v, cond);
    }

    template <typename F>
    int find_last(int a, int b, int k, int l, int r, T& v, F cond) {
        push(k);
        if (b <= l) return -1;
        if (r <= a) return r;
        if (a <= l && r <= b && !cond(M::op(node[k], v))) {
            v = M::op(node[k], v);
            return -1;
        }
        if (r - l == 1) return l;
        int m = std::midpoint(l, r);
        int res = find_last(a, b, 2 * k + 1, m, r, v, cond);
        if (res != -1) return res;
        return find_last(a, b, 2 * k, l, m, v, cond);
    }
};

#line 2 "data-structure/segtree/lazy_segment_tree.hpp"
#include <algorithm>
#include <bit>
#include <numeric>
#include <vector>

template <typename M, typename O,
          typename M::T (*act)(typename M::T, typename O::T)>
class LazySegmentTree {
    using T = M::T;
    using E = O::T;

   public:
    LazySegmentTree() = default;
    explicit LazySegmentTree(int n)
        : LazySegmentTree(std::vector<T>(n, M::id())) {}
    explicit LazySegmentTree(const std::vector<T>& v)
        : size(std::bit_ceil(v.size())),
          node(2 * size, M::id()),
          lazy(2 * size, O::id()) {
        std::ranges::copy(v, node.begin() + size);
        for (int i = size - 1; i > 0; --i) {
            node[i] = M::op(node[2 * i], node[2 * i + 1]);
        }
    }

    T operator[](int k) { return fold(k, k + 1); }

    void update(int l, int r, const E& x) { update(l, r, x, 1, 0, size); }

    T fold(int l, int r) { return fold(l, r, 1, 0, size); }

    T fold_all() {
        push(1);
        return node[1];
    }

    template <typename F>
    int find_first(int l, F cond) {
        T v = M::id();
        return find_first(l, size, 1, 0, size, v, cond);
    }

    template <typename F>
    int find_last(int r, F cond) {
        T v = M::id();
        return find_last(0, r, 1, 0, size, v, cond);
    }

   private:
    int size;
    std::vector<T> node;
    std::vector<E> lazy;

    void push(int k) {
        if (lazy[k] == O::id()) return;
        if (k < size) {
            lazy[2 * k] = O::op(lazy[2 * k], lazy[k]);
            lazy[2 * k + 1] = O::op(lazy[2 * k + 1], lazy[k]);
        }
        node[k] = act(node[k], lazy[k]);
        lazy[k] = O::id();
    }

    void update(int a, int b, const E& x, int k, int l, int r) {
        push(k);
        if (r <= a || b <= l) return;
        if (a <= l && r <= b) {
            lazy[k] = O::op(lazy[k], x);
            push(k);
            return;
        }
        int m = std::midpoint(l, r);
        update(a, b, x, 2 * k, l, m);
        update(a, b, x, 2 * k + 1, m, r);
        node[k] = M::op(node[2 * k], node[2 * k + 1]);
    }

    T fold(int a, int b, int k, int l, int r) {
        push(k);
        if (r <= a || b <= l) return M::id();
        if (a <= l && r <= b) return node[k];
        int m = std::midpoint(l, r);
        return M::op(fold(a, b, 2 * k, l, m), fold(a, b, 2 * k + 1, m, r));
    }

    template <typename F>
    int find_first(int a, int b, int k, int l, int r, T& v, F cond) {
        push(k);
        if (r <= a) return -1;
        if (b <= l) return l;
        if (a <= l && r <= b && !cond(M::op(v, node[k]))) {
            v = M::op(v, node[k]);
            return -1;
        }
        if (r - l == 1) return r;
        int m = std::midpoint(l, r);
        int res = find_first(a, b, 2 * k, l, m, v, cond);
        if (res != -1) return res;
        return find_first(a, b, 2 * k + 1, m, r, v, cond);
    }

    template <typename F>
    int find_last(int a, int b, int k, int l, int r, T& v, F cond) {
        push(k);
        if (b <= l) return -1;
        if (r <= a) return r;
        if (a <= l && r <= b && !cond(M::op(node[k], v))) {
            v = M::op(node[k], v);
            return -1;
        }
        if (r - l == 1) return l;
        int m = std::midpoint(l, r);
        int res = find_last(a, b, 2 * k + 1, m, r, v, cond);
        if (res != -1) return res;
        return find_last(a, b, 2 * k, l, m, v, cond);
    }
};

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